7. Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение:

Пусть \( x \) — количество деталей, которое второй рабочий делает за час. Тогда первый рабочий делает \( x + 5 \) деталей за час.

Время, которое потребуется второму рабочему для выполнения заказа из 180 деталей, равно \( \frac{180}{x} \) часов.

Время, которое потребуется первому рабочему для выполнения того же заказа, равно \( \frac{180}{x+5} \) часов.

По условию задачи, первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее второго. Составим уравнение:

\( \frac{180}{x} - \frac{180}{x+5} = 3 \)

Умножим обе части уравнения на \( x(x+5) \) (при условии, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -5 \), что логично, так как \( x \) — количество деталей в час):

\( 180(x+5) - 180x = 3x(x+5) \)

Раскроем скобки:

\( 180x + 900 - 180x = 3x^2 + 15x \)

\( 900 = 3x^2 + 15x \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 3x^2 + 15x - 900 = 0 \)

Разделим уравнение на 3:

\( x^2 + 5x - 300 = 0 \)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-300) = 25 + 1200 = 1225 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-5 + 35}{2(1)} = \frac{30}{2} = 15 \)

\( x_2 = \frac{-5 - 35}{2(1)} = \frac{-40}{2} = -20 \)

Так как количество деталей в час не может быть отрицательным, второй рабочий делает 15 деталей в час.

Проверка:

Второй рабочий делает \( 15 \) деталей/час. Время выполнения заказа: \( \frac{180}{15} = 12 \) часов.

Первый рабочий делает \( 15 + 5 = 20 \) деталей/час. Время выполнения заказа: \( \frac{180}{20} = 9 \) часов.

Разница во времени: \( 12 - 9 = 3 \) часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: Второй рабочий делает 15 деталей в час.