5. Решите неравенство: а) $7^{x-2}>49$; б) $\left(\frac12\right)^{x-1}\leq\frac14$; в) $2^{2x+1}-5\cdot2^x+2\geq0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите неравенство: а) $7^{x-2}>49$; б) $\left(\frac12\right)^{x-1}\leq\frac14$; в) $2^{2x+1}-5\cdot2^x+2\geq0$.$ Фото задания

5. Решите неравенство: а) $7^{x-2}>49$; б) $\left(\frac12\right)^{x-1}\leq\frac14$; в) $2^{2x+1}-5\cdot2^x+2\geq0$.

Accepted Answer

а) Так как $49=7^2$ и основание $7>1$, сравниваем показатели: $x-2>2$. Следовательно, $x>4$.

б) Так как $\frac14=\left(\frac12\right)^2$, а функция со основанием $0<\frac12<1$ убывает, из $\left(\frac12\right)^{x-1}\leq\left(\frac12\right)^2$ следует $x-1\geq2$. Значит, $x\geq3$.

в) Положим $y=2^x$, где $y>0$. Тогда $2^{2x+1}=2y^2$, и получаем $2y^2-5y+2\geq0$. Корни соответствующего квадратного трёхчлена: $y=\frac12$ и $y=2$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, $y\leq\frac12$ или $y\geq2$. С учётом $y=2^x$: $2^x\leq2^{-1}$ или $2^x\geq2^1$, откуда $x\leq-1$ или $x\geq1$.

Ответ: а) $x>4$; б) $x\geq3$; в) $x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$.

5. Решите неравенство: а) \(7^{x-2}>49\); б) \(\left(\frac12\right)^{x-1}\leq\frac14\); в) \(2^{2x+1}-5\cdot2^x+2\geq0\).

Ответ: