5. Решите неравенство: a) $$\log_3 (1-x) > \log_3 (3-2x)$$ б) $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} \le 26$$ в) $$\frac{(x+1)(x-4)}{x^2+x-6} > 0$$

5. Решите неравенство:

1. а)
   

   \(\log_3 (1-x) > \log_3 (3-2x)\)
   ОДЗ: \(1-x > 0 \Rightarrow x < 1\) и \(3-2x > 0 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < 1.5\). Область допустимых значений: \(x < 1\).
   Так как основание логарифма \(3 > 1\), функция логарифма возрастающая, следовательно:
   \(1-x > 3-2x\)
   \(2x - x > 3 - 1\)
   \(x > 2\).
   Это решение противоречит ОДЗ \(x < 1\). Следовательно, решений нет.

2. б)
   

   \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} \le 26\)
   \(\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 \le 26\)
   \(5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x + \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x \le 26\)
   Пусть \( y = \left(\frac{1}{5}\right)^x \). Так как \( y > 0 \), получим:
   \(5y + \frac{1}{5}y \le 26\)
   \(y\left(5 + \frac{1}{5}\right) \le 26\)
   \(y\left(\frac{25+1}{5}\right) \le 26\)
   \(y\frac{26}{5} \le 26\)
   \(y \le 26 \cdot \frac{5}{26}\)
   \(y \le 5\).
   Теперь вернёмся к \(x\):
   \(\left(\frac{1}{5}\right)^x \le 5\)
   \(5^{-x} \le 5^1\)
   Так как основание \(5 > 1\), функция возрастающая:
   \(-x \le 1\)
   \(x \ge -1\).

3. в)
   

   \(\frac{(x+1)(x-4)}{x^2+x-6} > 0\)
   Разложим знаменатель на множители:
   \(x^2+x-6 = (x+3)(x-2)\)
   Получим дробь:
   \(\frac{(x+1)(x-4)}{(x+3)(x-2)} > 0\)
   Найдём корни числителя и знаменателя:
   Числитель: \(x = -1, x = 4\)
   Знаменатель: \(x = -3, x = 2\)
   Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки интервалов:
   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   Интервал	\((x+1)\)	\((x-4)\)	\((x+3)\)	\((x-2)\)	Знак дроби
   \((-\infty, -3)\)	-	-	-	-	+
   \((-3, -1]\)	-	-	+	-	-
   \((-1, 2)\)	+	-	+	-	+
   \((2, 4)\)	+	-	+	+	-
   \((4, \infty)\)	+	+	+	+	+

   
   
   
   

   Так как неравенство строгое (\( > 0 \)), нас интересуют интервалы, где дробь положительна. Это \((-\infty, -3)\), \((-1, 2)\), \((4, \infty)\).
   Обратите внимание, что точки \(-3\) и \(2\) не включаются, так как они являются корнями знаменателя. Точки \(-1\) и \(4\) включаются, так как они являются корнями числителя, но из-за строгого неравенства они также не включаются.

Ответ: а) нет решений; б) $$\ge -1$$; в) $$(-\infty, -3) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)$$.