5. Решите неравенство tgx ≤ 1

Решение:

Решим неравенство \(\operatorname{tg} x \le 1\) на интервале \((-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\).

1. На тригонометрическом круге проведем линию \(\operatorname{tg} x = 1\). Эта линия пересекает круг в точке \(x = \frac{\pi}{4}\).
2. Так как \(\operatorname{tg} x \le 1\), нас интересуют точки на круге, где значение тангенса меньше или равно 1.
3. Это соответствует интервалу \((-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}]\).
4. Учитывая периодичность функции \(\operatorname{tg} x\) с периодом \(\pi\), общее решение неравенства будет: \(-\frac{\pi}{2} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(-\frac{\pi}{2} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)