5. Решите неравенство $ -x^2 - 2x \le 0 $. В ответе укажите номер правильного варианта.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите неравенство $ -x^2 - 2x \le 0 $. В ответе укажите номер правильного варианта.$ Фото задания

5. Решите неравенство $ -x^2 - 2x \le 0 $. В ответе укажите номер правильного варианта.

Accepted Answer

Задание 5. Решение неравенства

Нужно решить квадратное неравенство $ -x^2 - 2x \le 0 $.

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Умножим обе части неравенства на $ -1 $, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

\[ x^2 + 2x \ge 0 \]

Шаг 2: Найдем корни соответствующего уравнения.

Решим уравнение $ x^2 + 2x = 0 $.

Вынесем $ x $ за скобки:

\[ x(x+2) = 0 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = 0 \]

\[ x_2 = -2 \]

Шаг 3: Определим знаки интервалов.

Полученные корни $ -2 $ и $ 0 $ разбивают числовую ось на три интервала: $ (-\infty; -2) $, $ (-2; 0) $ и $ (0; +\infty) $.

Рассмотрим функцию $ y = x^2 + 2x $. Это парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $ x^2 $ равен $ 1 $, что больше нуля).

На интервале $ (-\infty; -2) $ функция отрицательна (например, при $ x = -3 $, $ y = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 $ - здесь ошибка, должно быть больше нуля). Проверим еще раз: $ x=-3 $, $ y = (-3)(-3+2) = (-3)(-1) = 3 $. Интервал $ (-\infty; -2) $ - знаки +.
На интервале $ (-2; 0) $ функция отрицательна (например, при $ x = -1 $, $ y = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 $). Интервал $ (-2; 0) $ - знаки -.
На интервале $ (0; +\infty) $ функция положительна (например, при $ x = 1 $, $ y = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 $). Интервал $ (0; +\infty) $ - знаки +.

Шаг 4: Выберем нужные интервалы.

Нам нужно, чтобы $ x^2 + 2x \ge 0 $, то есть значения функции были положительными или равными нулю. Это интервалы $ (-\infty; -2] $ и $ [0; +\infty) $. Обратите внимание, что точки $ -2 $ и $ 0 $ включаются, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Шаг 5: Сравним с вариантами ответов.

Полученное решение: $ x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty) $.

Смотрим на варианты:

$ (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) $ — не подходит, так как точки $ -2 $ и $ 0 $ не включены.
$ (-\infty; -2] \cup [0; +\infty) $ — подходит.
$ (-2; 0) $ — это интервал, где неравенство отрицательно.
$ [-2; 0] $ — это интервал, где неравенство отрицательно, и точки включены.

Ответ: 2

5. Решите неравенство \( -x^2 - 2x \le 0 \). В ответе укажите номер правильного варианта.

Ответ:

Задание 5. Решение неравенства