6. Решите уравнение \( (x+2)^4 - 4(x+2)^2 - 5 = 0 \).

Задание 6. Решение уравнения

Перед нами биквадратное уравнение, которое можно решить с помощью замены переменной.

Шаг 1: Введем замену переменной.

Пусть \( y = (x+2)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 4y - 5 = 0 \]

Шаг 2: Решим квадратное уравнение относительно \( y \).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \]

Найдем корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Шаг 3: Вернемся к исходной переменной \( x \).

У нас получилось два случая:

1. \( (x+2)^2 = y_1 = 5 \)
2. \( (x+2)^2 = y_2 = -1 \)

Рассмотрим первый случай:

\[ (x+2)^2 = 5 \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ x+2 = \pm \sqrt{5} \]

Найдем \( x \):

\[ x = -2 \pm \sqrt{5} \]

Получаем два корня: \( x_1 = -2 + \sqrt{5} \) и \( x_2 = -2 - \sqrt{5} \).

Рассмотрим второй случай:

\[ (x+2)^2 = -1 \]

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай не имеет действительных решений.

Шаг 4: Запишем ответ.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: \( x = -2 \pm \sqrt{5} \).