5. Решите неравенство -x² - 2x ≤ 0. В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение:

Решим неравенство \( -x^2 - 2x \le 0 \).

1. Умножим обе части на \( -1 \) и изменим знак неравенства: \( x^2 + 2x \ge 0 \).
2. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x+2) \ge 0 \).
3. Найдем корни уравнения \( x(x+2) = 0 \): \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -2 \).
4. Эти корни делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -2] \), \( [-2; 0] \) и \( [0; +\infty) \).
5. Проверим знак выражения \( x(x+2) \) в каждом интервале:
   • При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( -3(-3+2) = -3(-1) = 3 \) (положительно).
   • При \( -2 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( -1(-1+2) = -1(1) = -1 \) (отрицательно).
   • При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( 1(1+2) = 1(3) = 3 \) (положительно).
6. Нам нужно, чтобы \( x(x+2) \ge 0 \), поэтому подходят интервалы \( (-\infty; -2] \) и \( [0; +\infty) \).

Ответ: 2) (–∞; –2] U [0; +∞)