5. Решите показательные уравнения: а) $3\cdot9^x=81$; б) $(\frac13)^x=\frac1{81}$; в) $3^{x+\frac12}\cdot3^{x-2}=1$; г) $3^{2x-1}+3^{2x}=108$; д) $16^x-7\cdot4^x+16=0$; е) $5^{0,1x}\cdot(\frac15)^{-0,06}=5^{x^2}$; ж) $5^{2x}-5^x-600=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите показательные уравнения: а) $3\cdot9^x=81$; б) $(\frac13)^x=\frac1{81}$; в) $3^{x+\frac12}\cdot3^{x-2}=1$; г)…$ Фото задания

5. Решите показательные уравнения: а) $3\cdot9^x=81$; б) $(\frac13)^x=\frac1{81}$; в) $3^{x+\frac12}\cdot3^{x-2}=1$; г) $3^{2x-1}+3^{2x}=108$; д) $16^x-7\cdot4^x+16=0$; е) $5^{0,1x}\cdot(\frac15)^{-0,06}=5^{x^2}$; ж) $5^{2x}-5^x-600=0$.

Accepted Answer

а) Представим числа как степени тройки: $3\cdot3^{2x}=3^4$, поэтому $1+2x=4$, откуда $x=\frac32$.

б) $3^{-x}=3^{-4}$, значит $x=4$.

в) Складываем показатели степеней с одинаковым основанием: $3^{2x-\frac32}=1=3^0$. Тогда $2x-\frac32=0$, откуда $x=\frac34$.

г) Обозначим $t=3^{2x}>0$. Тогда $\frac{t}{3}+t=108$, откуда $t=81=3^4$. Следовательно, $2x=4$, $x=2$.

д) Пусть $t=4^x>0$. Получаем $t^2-7t+16=0$. Дискриминант $D=49-64=-15<0$, поэтому действительных корней нет.

е) Перепишем левую часть с основанием 5: $5^{0,1x+0,06}=5^{x^2}$. Значит, $x^2-0,1x-0,06=0$. Корни: $x=0,3$ и $x=-0,2$.

ж) Обозначим $t=5^x>0$. Тогда $t^2-t-600=0$, откуда $(t-25)(t+24)=0$. С учётом $t>0$, получаем $5^x=25$, следовательно, $x=2$.

Ответ: а) $\frac32$; б) 4; в) $\frac34$; г) 2; д) действительных корней нет; е) $-0,2$ и $0,3$; ж) 2.

5. Решите показательные уравнения: а) \(3\cdot9^x=81\); б) \((\frac13)^x=\frac1{81}\); в) \(3^{x+\frac12}\cdot3^{x-2}=1\); г) \(3^{2x-1}+3^{2x}=108\); д) \(16^x-7\cdot4^x+16=0\); е) \(5^{0,1x}\cdot(\frac15)^{-0,06}=5^{x^2}\); ж) \(5^{2x}-5^x-600=0\).

Ответ: