№ 5. Решите систему уравнений: \(\begin{cases}\frac{6}{x-y}-\frac{8}{x+y}=-2,\\\frac{9}{x-y}+\frac{10}{x+y}=8.\end{cases}\)

Введём обозначения \(a=\frac{1}{x-y}\), \(b=\frac{1}{x+y}\). Получим систему:

\(6a-8b=-2,\quad 9a+10b=8\).

Первое уравнение разделим на 2: \(3a-4b=-1\). Умножим его на 3: \(9a-12b=-3\). Вычтем это равенство из второго: \(22b=11\), поэтому \(b=\frac12\).

Подставим в \(3a-4b=-1\): \(3a-2=-1\), значит \(a=\frac13\).

Следовательно, \(x-y=3\) и \(x+y=2\). Складывая равенства, получаем \(2x=5\), откуда \(x=2{,}5\). Тогда \(y=-0{,}5\).

Проверка: \(\frac{6}{3}-\frac{8}{2}=-2\), а \(\frac{9}{3}+\frac{10}{2}=8\). Знаменатели не равны нулю.

На изображении варианты ответа к этому заданию обрезаны; найденное решение соответствует видимой паре \((2{,}5;-0{,}5)\).

Ответ: \((2{,}5;-0{,}5)\).