5. Решите систему уравнений: {x+y=5, x^2+y^2=17}

Решение:

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим y:

y = 5 - x

Подставим это выражение во второе уравнение:

x^2 + (5 - x)^2 = 17

Раскроем скобки:

x^2 + 25 - 10x + x^2 = 17

Приведём подобные слагаемые:

2x^2 - 10x + 25 - 17 = 0

2x^2 - 10x + 8 = 0

Разделим всё уравнение на 2:

x^2 - 5x + 4 = 0

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) 4 = 25 - 16 = 9

\(\sqrt{D}\) = 3

Найдем корни x:

x_1 = \(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) = \(\frac{5 + 3}{2}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4

x_2 = \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\) = \(\frac{5 - 3}{2}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1

Теперь найдём соответствующие значения y, подставляя x в уравнение y = 5 - x:

При x_1 = 4: y_1 = 5 - 4 = 1

При x_2 = 1: y_2 = 5 - 1 = 4

Пары решений: (4; 1) и (1; 4).

Ответ: (4; 1), (1; 4).