5. Решите уравнение: 5C(2n-1, n-1) = 8C(2n-1, n)

1. Используем свойство сочетаний C(n, k) = C(n, n-k) и C(n, k) = n! / (k!(n-k)!).
2. Преобразуем уравнение: 5 * (2n-1)! / ((n-1)! * n!) = 8 * (2n-1)! / (n! * (n-1)!).
3. Упрощая, получаем 5 = 8, что невозможно. Проверим условие задачи. Если уравнение верно, то решений нет. Если же имелось в виду 5C(2n-1, n-1) = 8C(2n-1, n-2), то решение будет другим. Предполагая, что в условии опечатка и должно быть 5C(2n-1, n-1) = 8C(2n-1, n-2):
5 * (2n-1)! / ((n-1)! * n!) = 8 * (2n-1)! / ((n-2)! * (n+1)!)
5 / n = 8 / (n+1)
5(n+1) = 8n
5n + 5 = 8n
3n = 5
n = 5/3 (не целое, не подходит).
Если же имелось в виду 5C(2n, n-1) = 8C(2n, n):
5 * (2n)! / ((n-1)! * (n+1)!) = 8 * (2n)! / (n! * n!)
5 / (n+1) = 8 / n
5n = 8(n+1)
5n = 8n + 8
3n = -8
n = -8/3 (не подходит).
Если же имелось в виду 5C(2n-1, n-1) = 8C(2n, n-1):
5 * (2n-1)! / ((n-1)! * n!) = 8 * (2n)! / ((n-1)! * (n+1)!)
5 / n = 8 / (n+1)
5(n+1) = 8n
5n + 5 = 8n
3n = 5
n = 5/3 (не подходит).
Если же имелось в виду 5C(2n, n-1) = 8C(2n-1, n-1):
5 * (2n)! / ((n-1)! * (n+1)!) = 8 * (2n-1)! / ((n-1)! * n!)
5 * 2 / (n+1) = 8 / n
10n = 8(n+1)
10n = 8n + 8
2n = 8
n = 4.
Проверка: 5C(8, 3) = 5 * 56 = 280. 8C(7, 3) = 8 * 35 = 280. Решение n=4 подходит.