5. Решите уравнение: a) sin 2x = 0; 6) cos x⋅cos 2x - sin x⋅sin 2x = 0; в) sin²x = -cos 2x.

Решение:

1. a) \( \sin 2x = 0 \)

\( 2x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x = \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. б) \( \cos x \cdot \cos 2x - \sin x \cdot \sin 2x = 0 \)

Используем формулу косинуса суммы \( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \).

\( \cos(x + 2x) = 0 \)

\( \cos(3x) = 0 \)

\( 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

3. в) \( \sin^2 x = -\cos 2x \)

Используем формулу \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

\( \sin^2 x = -(1 - 2\sin^2 x) \)

\( \sin^2 x = -1 + 2\sin^2 x \)

\( \sin^2 x = 1 \)

\( \sin x = \pm 1 \).

Если \( \sin x = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Если \( \sin x = -1 \), то \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

Объединяя оба случая, получаем \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: a) \( x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \); б) \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} \); в) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).