4. Докажите тождество: cos² а (1 + tg² a) – sin² a = cos² a.

Краткое пояснение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \> и основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \>.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем выражение в левой части
   Начнем с левой части тождества: \( \cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \>.
   Заменим \( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha \) на \( \(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\) \>:
   \( \(\cos\)^2 \(\alpha\) \(\cdot\) \(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\) - \(\sin\)^2 \(\alpha\) \>.
   Упростим: \( 1 - \(\sin\)^2 \(\alpha\) \>.
2. Шаг 2: Применим основное тригонометрическое тождество
   Из основного тригонометрического тождества \( \(\sin\)^2 \(\alpha\) + \(\cos\)^2 \(\alpha\) = 1 \> следует, что \( 1 - \(\sin\)^2 \(\alpha\) = \(\cos\)^2 \(\alpha\) \>.
3. Шаг 3: Сравним с правой частью
   Таким образом, левая часть тождества равна \( \(\cos\)^2 \(\alpha\) \>, что совпадает с правой частью.

Тождество доказано.