5. Решите уравнение, предварительно умножив обе его части на такое число, чтобы все коэффициенты при неизвестном и слагаемые стали целыми числами:

Решение:

a) \(\frac{5}{8}x + 3 = \frac{7}{12}x - 1\)

1. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 8 и 12.
2. \(8 = 2^3\), \(12 = 2^2 \cdot 3\).
3. \(НОК(8; 12) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
4. Умножим обе части уравнения на 24:
5. \(24 \cdot (\frac{5}{8}x + 3) = 24 \cdot (\frac{7}{12}x - 1)\)
6. \(24 \cdot \frac{5}{8}x + 24 \cdot 3 = 24 \cdot \frac{7}{12}x - 24 \cdot 1\)
7. \(3 \cdot 5x + 72 = 2 \cdot 7x - 24\)
8. \(15x + 72 = 14x - 24\)
9. Перенесём \(14x\) влево и \(72\) вправо:
10. \(15x - 14x = -24 - 72\)
11. \(x = -96\)

б) \(-\frac{5}{6}x + 2 = \frac{2}{15}x + 1\)

1. Найдём НОК знаменателей 6 и 15.
2. \(6 = 2 \cdot 3\), \(15 = 3 \cdot 5\).
3. \(НОК(6; 15) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\).
4. Умножим обе части уравнения на 30:
5. \(30 \cdot (-\frac{5}{6}x + 2) = 30 \cdot (\frac{2}{15}x + 1)\)
6. \(30 \cdot (-\frac{5}{6}x) + 30 \cdot 2 = 30 \cdot \frac{2}{15}x + 30 \cdot 1\)
7. \(-5 \cdot 5x + 60 = 2 \cdot 2x + 30\)
8. \(-25x + 60 = 4x + 30\)
9. Перенесём \(4x\) влево и \(60\) вправо:
10. \(-25x - 4x = 30 - 60\)
11. \(-29x = -30\)
12. Разделим обе части на -29:
13. \(x = \frac{-30}{-29}\)
14. \(x = \frac{30}{29}\)

Ответ: а) \(x = -96\); б) \(x = \frac{30}{29}\)