5. Решите уравнение \( \sqrt{12-x} = x \).

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
2. \( 12 - x = x^2 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
4. \( x^2 + x - 12 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
6. \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \)
7. Найдём корни:
8. \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
9. \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
10. Проверим корни в исходном уравнении:
11. Для \( x = 3 \): \( \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3 \). \( 3 = 3 \). Корень подходит.
12. Для \( x = -4 \): \( \sqrt{12-(-4)} = \sqrt{16} = 4 \). \( 4 \neq -4 \). Корень не подходит.

Ответ: x = 3