5. Решите уравнение \( \sqrt{12-x} = x \).

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[ (\sqrt{12-x})^2 = x^2 \]

\[ 12 - x = x^2 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + x - 12 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Проверим полученные корни в исходном уравнении \( \sqrt{12-x} = x \).

Для \( x_1 = 3 \): \( \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3 \). \( 3 = 3 \). Этот корень подходит.

Для \( x_2 = -4 \): \( \sqrt{12-(-4)} = \sqrt{16} = 4 \). \( 4 \neq -4 \). Этот корень не подходит, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения \( x \) не может быть отрицательной.

Ответ: \( x = 3 \)