7. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 6 см, если двугранный угол при ребре основания равен 45°.

Решение:

1. Обозначим сторону основания пирамиды как \( a = 6 \) см. Двугранный угол при ребре основания равен \( \alpha = 45^{\circ} \).
2. Высоту пирамиды \( H \) и апофему \( h_a \) (высоту боковой грани, проведённую к основанию) можно связать с двугранным углом. В правильной четырехугольной пирамиде апофема является катетом прямоугольного треугольника, где вторым катетом является высота пирамиды \( H \), а гипотенузой — отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой бокового ребра. Однако, для двугранного угла при ребре основания, нам нужен другой прямоугольный треугольник.
3. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды перпендикулярно одному из рёбер основания. Это сечение даст нам прямоугольный треугольник, где катетами являются высота пирамиды \( H \) и отрезок, соединяющий середину стороны основания с центром основания (который равен \( a/2 \)), а гипотенузой — апофема \( h_a \).
4. Двугранный угол \( \alpha \) при ребре основания — это угол между апофемой \( h_a \) и отрезком, соединяющим середину стороны основания с центром основания (который равен \( a/2 \)).
5. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \( H \), отрезком \( a/2 \) и апофемой \( h_a \), имеем: \( \tan \alpha = \frac{H}{a/2} \).
6. Подставим известные значения: \( \tan 45^{\circ} = \frac{H}{6/2} \).
7. Так как \( \tan 45^{\circ} = 1 \), получаем: \( 1 = \frac{H}{3} \), следовательно \( H = 3 \) см.
8. Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \times H \).
9. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды: \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².
10. Теперь найдём объём: \( V = \frac{1}{3} \times 36 \times 3 = 36 \) см³.

Ответ: 36 см³