5. Решите уравнение: x/(x-5) + (3x+15)/(x²-25) = 0.

Решение:

Приведем уравнение к общему знаменателю. Заметим, что x² - 25 = (x - 5)(x + 5).

• x / (x - 5) + (3x + 15) / ((x - 5)(x + 5)) = 0
• Общий знаменатель: (x - 5)(x + 5)
• Умножим числитель первой дроби на (x + 5):
• x(x + 5) / ((x - 5)(x + 5)) + (3x + 15) / ((x - 5)(x + 5)) = 0
• (x² + 5x + 3x + 15) / ((x - 5)(x + 5)) = 0
• (x² + 8x + 15) / ((x - 5)(x + 5)) = 0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

• x² + 8x + 15 = 0
• Найдем корни квадратного уравнения:
• D = 8² - 4 ⋅ 1 ⋅ 15 = 64 - 60 = 4
• √D = 2
• x₁ = (-8 - 2) / (2 ⋅ 1) = -10 / 2 = -5
• x₂ = (-8 + 2) / (2 ⋅ 1) = -6 / 2 = -3

Теперь проверим знаменатель. Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть x ≠ 5 и x ≠ -5.

Корень x₁ = -5 является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль.

Остается корень x₂ = -3.

Ответ: x = -3