5. Решите уравнение sin²x - 9 sin x cos x + 3 cos x = -1.

Решение:

Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество 1 = sin²x + cos²x:

• sin²x - 9 sin x cos x + 3 cos x = -(sin²x + cos²x)
• sin²x - 9 sin x cos x + 3 cos x = -sin²x - cos²x
• Перенесем все члены в одну сторону:
• sin²x + sin²x - 9 sin x cos x + 3 cos x + cos²x = 0
• 2sin²x - 9 sin x cos x + 4 cos²x = 0
• Разделим обе части на cos²x (при условии, что cos x ≠ 0):
• 2tg²x - 9 tg x + 4 = 0
• Пусть y = tg x. Тогда 2y² - 9y + 4 = 0.
• Найдем дискриминант: D = (-9)² - 4 * 2 * 4 = 81 - 32 = 49.
• \(y = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2*2} = \frac{9 \pm 7}{4}\)
• y₁ = \(\frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4\)
• y₂ = \(\frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
• Таким образом, tg x = 4 или tg x = 1/2.
• Если cos x = 0, то sin x = ±1. Подставим в исходное уравнение: (±1)² - 9(±1)(0) + 3(0) = 1 ≠ -1. Значит, cos x ≠ 0.
• x = arctg(4) + \pi n или x = arctg(1/2) + \pi n, где n - целое число.

Ответ: x = arctg(4) + \pi n или x = arctg(1/2) + \pi n, где n - целое число.