Решите уравнения: 1. 2 sinx - 1 = 0 2. cos(2x+\frac{\pi}{6}) + 1 = 0. 3. 6sin²x-5 cos x + 5 = 0. 4. 3sin²x-4 sin x cos x + cos²x = 0.

Решение:

1. 1. 2sin x - 1 = 0
   • 2sin x = 1
   • sin x = 1/2
   • x = \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\) или x = \(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где n - целое число.
2. 2. cos(2x+\frac{\pi}{6}) + 1 = 0
   • cos(2x+\frac{\pi}{6}) = -1
   • 2x + \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n
   • 2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n
   • 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n
   • x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, где n - целое число.
3. 3. 6sin²x - 5 cos x + 5 = 0
   • Заменим sin²x на (1 - cos²x):
   • 6(1 - cos²x) - 5 cos x + 5 = 0
   • 6 - 6cos²x - 5 cos x + 5 = 0
   • -6cos²x - 5 cos x + 11 = 0
   • 6cos²x + 5 cos x - 11 = 0
   • Пусть y = cos x. Тогда 6y² + 5y - 11 = 0.
   • D = 5² - 4 * 6 * (-11) = 25 + 264 = 289
   • \(y = \frac{-5 \pm \sqrt{289}}{2*6} = \frac{-5 \pm 17}{12}\)
   • y₁ = \(\frac{-5 + 17}{12} = \frac{12}{12} = 1\)
   • y₂ = \(\frac{-5 - 17}{12} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6}\)
   • Так как -1 ≤ cos x ≤ 1, то y₂ = -11/6 не подходит.
   • cos x = 1
   • x = 2\pi n, где n - целое число.
4. 4. 3sin²x - 4 sin x cos x + cos²x = 0
   • Разделим обе части на cos²x (при условии, что cos x ≠ 0):
   • 3tg²x - 4 tg x + 1 = 0
   • Пусть y = tg x. Тогда 3y² - 4y + 1 = 0.
   • D = (-4)² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4
   • \(y = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2*3} = \frac{4 \pm 2}{6}\)
   • y₁ = \(\frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
   • y₂ = \(\frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
   • tg x = 1 => x = \(\frac{\pi}{4} + \pi n\)
   • tg x = 1/3 => x = arctg(1/3) + \pi n
   • Проверим случай cos x = 0:
   • Если cos x = 0, то sin x = ±1.
   • 3(±1)² - 4(±1)(0) + 0² = 3 ≠ 0. Следовательно, cos x ≠ 0.
   • x = \(\frac{\pi}{4} + \pi n\) или x = arctg(1/3) + \pi n, где n - целое число.

Ответ: 1. x = \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\) или x = \(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\); 2. x = \(\frac{5\pi}{12} + \pi n\); 3. x = 2\pi n; 4. x = \(\frac{\pi}{4} + \pi n\) или x = arctg(1/3) + \pi n, где n - целое число.