6. Найдите корни уравнения √3 sin 2x = cos 2x, принадлежащие отрезку [-2; 2п).

Решение:

• 1. Преобразуем уравнение:
• √3 sin 2x = cos 2x
• Разделим обе части на cos 2x (при условии, что cos 2x ≠ 0):
• \(\sqrt{3} \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1\)
• \(\sqrt{3} g 2x = 1\)
• \( g 2x = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
• 2. Найдем все корни уравнения:
• 2x = \(\frac{\pi}{6} + \pi n\), где n - целое число.
• x = \(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\)
• 3. Выберем корни, принадлежащие отрезку [-2π; 2π):
• Подставим разные значения n:
• n = -4: x = \(\frac{\pi}{12} + \frac{-4\pi}{2} = \frac{\pi}{12} - 2\pi = \frac{\pi - 24\pi}{12} = -\frac{23\pi}{12}\). Это значение меньше -2π.
• n = -3: x = \(\frac{\pi}{12} + \frac{-3\pi}{2} = \frac{\pi}{12} - \frac{18\pi}{12} = -\frac{17\pi}{12}\). Это значение принадлежит отрезку [-2π; 2π).
• n = -2: x = \(\frac{\pi}{12} + \frac{-2\pi}{2} = \frac{\pi}{12} - \pi = \frac{\pi - 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}\). Это значение принадлежит отрезку [-2π; 2π).
• n = -1: x = \(\frac{\pi}{12} + \frac{-\pi}{2} = \frac{\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}\). Это значение принадлежит отрезку [-2π; 2π).
• n = 0: x = \(\frac{\pi}{12} + 0 = \frac{\pi}{12}\). Это значение принадлежит отрезку [-2π; 2π).
• n = 1: x = \(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}\). Это значение принадлежит отрезку [-2π; 2π).
• n = 2: x = \(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{\pi + 12\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}\). Это значение принадлежит отрезку [-2π; 2π).
• n = 3: x = \(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{18\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}\). Это значение принадлежит отрезку [-2π; 2π).
• n = 4: x = \(\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{\pi + 24\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}\). Это значение больше или равно 2π.
• Проверим случай cos 2x = 0:
• Если cos 2x = 0, то 2x = \(\frac{\pi}{2} + \pi k\).
• Тогда √3 sin 2x = √3 (±1) = ±√3 ≠ 0. Значит, cos 2x ≠ 0.

Ответ: x ∈ { -\(\frac{17\pi}{12}\), -\(\frac{11\pi}{12}\), -\(\frac{5\pi}{12}\), \(\frac{\pi}{12}\), \(\frac{7\pi}{12}\), \(\frac{13\pi}{12}\), \(\frac{19\pi}{12}\) }.