5. Решите задачу: Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошёл по реке расстояние, равное 15 км по течению реки и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Краткое пояснение:

Обозначим скорость течения реки за $$x$$. Скорость катера по течению будет $$8+x$$, а против течения — $$8-x$$. Время в пути равно расстоянию, деленному на скорость. Суммарное время равно 4 часам.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Скорость катера по течению: $$v_{по\ теч} = 8 + x$$ км/ч.
2. Шаг 2: Скорость катера против течения: $$v_{против\ теч} = 8 - x$$ км/ч.
3. Шаг 3: Время в пути по течению: $$t_{по\ теч} = \frac{15}{8+x}$$ ч.
4. Шаг 4: Время в пути против течения: $$t_{против\ теч} = \frac{15}{8-x}$$ ч.
5. Шаг 5: Общее время в пути: $$t_{общ} = t_{по\ теч} + t_{против\ теч} = 4$$ ч.
6. Шаг 6: Составим уравнение: $$\frac{15}{8+x} + \frac{15}{8-x} = 4$$.
7. Шаг 7: Приведем к общему знаменателю: $$\frac{15(8-x) + 15(8+x)}{(8+x)(8-x)} = 4$$.
8. Шаг 8: Упростим числитель: $$\frac{120 - 15x + 120 + 15x}{64 - x^2} = 4 \Rightarrow \frac{240}{64 - x^2} = 4$$.
9. Шаг 9: Решим уравнение: $$240 = 4(64 - x^2) \Rightarrow 60 = 64 - x^2 \Rightarrow x^2 = 64 - 60 \Rightarrow x^2 = 4$$.
10. Шаг 10: Найдем $$x$$: $$x = \sqrt{4} = 2$$. Так как скорость течения не может быть отрицательной, берем положительный корень.

Ответ: Скорость течения реки — 2 км/ч.