5. Решите задачу с помощью составления уравнения. Один угол прямоугольного треугольника в два раза меньше другого. Что можно сказать о сторонах этого треугольника? (Рассмотрите два случая.)

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен \(90^\circ\), а сумма двух острых углов — \(90^\circ\). Рассмотрим два случая, поскольку угол, вдвое меньший другого, может быть связан с прямым углом или с другим острым углом.

Случай 1. Один острый угол вдвое меньше прямого: \(x=90^\circ:2=45^\circ\). Тогда второй острый угол тоже равен \(90^\circ-45^\circ=45^\circ\). Треугольник равнобедренный прямоугольный: его катеты равны, а гипотенуза в \(\sqrt2\) раза больше катета.

Случай 2. Один острый угол вдвое меньше другого. Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(2x\). Составим уравнение: \(x+2x=90^\circ\), откуда \(x=30^\circ\), а больший угол равен \(60^\circ\). В треугольнике с углами \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\) катет напротив угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы; второй катет равен первому, умноженному на \(\sqrt3\).

Ответ: возможны два случая: равнобедренный прямоугольный треугольник с углами \(45^\circ,45^\circ,90^\circ\) или треугольник с углами \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\); отношения сторон указаны выше.