5. Решите задачу: За 7 кг апельсинов и 4 кг лимонов заплатили 700 рублей. Сколько стоит 1 кг апельсинов и 1 кг лимонов, если 5 кг апельсинов дороже, чем 2 кг лимонов на 160 рублей?

Решение:

Пусть \( x \) — цена 1 кг апельсинов, а \( y \) — цена 1 кг лимонов.

Составим систему уравнений по условию задачи:

1. За 7 кг апельсинов и 4 кг лимонов заплатили 700 рублей: \( 7x + 4y = 700 \).
2. 5 кг апельсинов дороже, чем 2 кг лимонов на 160 рублей: \( 5x = 2y + 160 \).

Преобразуем второе уравнение, чтобы выразить \( 2y \): \( 5x - 160 = 2y \).

Теперь можно подставить \( 2y \) в первое уравнение, но сначала удвоим первое уравнение, чтобы получить \( 8y \) (или поделим второе на 2, чтобы получить \( y \))

Умножим первое уравнение на 2: \( 14x + 8y = 1400 \).

Умножим второе уравнение на 4: \( 20x = 8y + 640 \)
Выразим \( 8y \): \( 8y = 20x - 640 \).

Подставим \( 8y \) в первое уравнение (умноженное на 2):

\( 14x + (20x - 640) = 1400 \)

\( 14x + 20x - 640 = 1400 \)

\( 34x = 1400 + 640 \)

\( 34x = 2040 \)

\( x = \frac{2040}{34} = 60 \) рублей.

Теперь найдём \( y \). Подставим \( x = 60 \) во второе уравнение \( 5x = 2y + 160 \):

\( 5 \cdot 60 = 2y + 160 \)

\( 300 = 2y + 160 \)

\( 2y = 300 - 160 \)

\( 2y = 140 \)

\( y = \frac{140}{2} = 70 \) рублей.

Проверим первое уравнение: \( 7 \cdot 60 + 4 \cdot 70 = 420 + 280 = 700 \). Всё верно.

Ответ: 1 кг апельсинов стоит 60 рублей, а 1 кг лимонов стоит 70 рублей.