5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: Х, Ү, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: X Y Z F 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Какое выражение 1)-X AY AZ 2)-X VYV-Z 3) XAYA-Z 4) -X -Y VZ соответствует F? Ответ:

Решение:

Чтобы определить, какое логическое выражение соответствует заданной таблице истинности для F, мы будем проверять каждую строку таблицы и подставлять значения X, Y, Z в предложенные выражения.

Таблица истинности F:

Проверяем варианты:

Обозначения:

• ∧ - логическое И (AND)
• ∨ - логическое ИЛИ (OR)
• - - логическое НЕ (NOT)

1. -X ∧ Y ∧ Z
• При X=0, Y=1, Z=1: -0 ∧ 1 ∧ 1 = 1 ∧ 1 ∧ 1 = 1. По таблице F=0. Не подходит.
2. -X ∨ Y ∨ -Z
• При X=0, Y=1, Z=1: -0 ∨ 1 ∨ -1 = 1 ∨ 1 ∨ 0 = 1. По таблице F=0. Не подходит.
3. X ∧ Y ∧ -Z
• При X=0, Y=1, Z=1: 0 ∧ 1 ∧ -1 = 0 ∧ 1 ∧ 0 = 0. Совпадает!
• Проверим следующую строку: X=1, Y=1, Z=0. 1 ∧ 1 ∧ -0 = 1 ∧ 1 ∧ 1 = 1. Совпадает!
• Проверим следующую строку: X=1, Y=1, Z=1. 1 ∧ 1 ∧ -1 = 1 ∧ 1 ∧ 0 = 0. Совпадает!
• Проверим последнюю строку: X=1, Y=0, Z=0. 1 ∧ 0 ∧ -0 = 1 ∧ 0 ∧ 1 = 0. По таблице F=1. Не подходит.
4. -X ∨ -Y ∨ Z
• При X=0, Y=1, Z=1: -0 ∨ -1 ∨ 1 = 1 ∨ 0 ∨ 1 = 1. По таблице F=0. Не подходит.

Пересматриваем вариант 3, возможно, я ошибся в записи.

Вариант 3: X ∧ Y ∧ -Z

Строка 1: X=0, Y=1, Z=1. 0 ∧ 1 ∧ -1 = 0 ∧ 1 ∧ 0 = 0. F=0. Совпадает.

Строка 2: X=1, Y=1, Z=0. 1 ∧ 1 ∧ -0 = 1 ∧ 1 ∧ 1 = 1. F=1. Совпадает.

Строка 3: X=1, Y=1, Z=1. 1 ∧ 1 ∧ -1 = 1 ∧ 1 ∧ 0 = 0. F=0. Совпадает.

Строка 4: X=1, Y=0, Z=0. 1 ∧ 0 ∧ -0 = 1 ∧ 0 ∧ 1 = 0. F=1. НЕ совпадает.

Возможно, есть опечатка в задании или вариантах. Давайте еще раз проверим варианты, подставляя все значения.

Проверим вариант 1: -X ∧ Y ∧ Z

• X=0, Y=1, Z=1: 1 ∧ 1 ∧ 1 = 1 (F=0). Не подходит.

Проверим вариант 2: -X ∨ Y ∨ -Z

• X=0, Y=1, Z=1: 1 ∨ 1 ∨ 0 = 1 (F=0). Не подходит.

Проверим вариант 3: X ∧ Y ∧ -Z

• X=0, Y=1, Z=1: 0 ∧ 1 ∧ 0 = 0 (F=0). Совпадает.
• X=1, Y=1, Z=0: 1 ∧ 1 ∧ 1 = 1 (F=1). Совпадает.
• X=1, Y=1, Z=1: 1 ∧ 1 ∧ 0 = 0 (F=0). Совпадает.
• X=1, Y=0, Z=0: 1 ∧ 0 ∧ 1 = 0 (F=1). Не совпадает.

Проверим вариант 4: -X ∨ -Y ∨ Z

• X=0, Y=1, Z=1: 1 ∨ 0 ∨ 1 = 1 (F=0). Не подходит.

Очевидно, что есть ошибка в условии задачи или вариантах ответа, так как ни один вариант не подходит идеально. Однако, вариант 3 подходит для первых трех строк. Давайте предположим, что в таблице истинности есть опечатка в последней строке, или в вариантах.

Если предположить, что F для строки (1, 0, 0) должно быть 0, то вариант 3 (X ∧ Y ∧ -Z) подходит.

Если внимательно посмотреть на таблицу, то F=0 в тех случаях, когда Z=1 И (X=0 ИЛИ Y=1), ИЛИ когда X=1 И Y=1 И Z=1.

Рассмотрим ещё раз вариант 3: X ∧ Y ∧ -Z

Строка 1: X=0, Y=1, Z=1. 0 ∧ 1 ∧ -1 = 0 ∧ 1 ∧ 0 = 0. (F=0) - Совпадает!

Строка 2: X=1, Y=1, Z=0. 1 ∧ 1 ∧ -0 = 1 ∧ 1 ∧ 1 = 1. (F=1) - Совпадает!

Строка 3: X=1, Y=1, Z=1. 1 ∧ 1 ∧ -1 = 1 ∧ 1 ∧ 0 = 0. (F=0) - Совпадает!

Строка 4: X=1, Y=0, Z=0. 1 ∧ 0 ∧ -0 = 1 ∧ 0 ∧ 1 = 0. (F=1) - НЕ совпадает.

Давайте проверим другую комбинацию, которая может быть похожа.

Рассмотрим выражение: Y ∧ (-X ∨ -Z)

Строка 1: X=0, Y=1, Z=1. 1 ∧ (-0 ∨ -1) = 1 ∧ (1 ∨ 0) = 1 ∧ 1 = 1. (F=0) - Не подходит.

Рассмотрим выражение: Y ∧ (-Z)

Строка 1: X=0, Y=1, Z=1. 1 ∧ (-1) = 1 ∧ 0 = 0. (F=0) - Совпадает.

Строка 2: X=1, Y=1, Z=0. 1 ∧ (-0) = 1 ∧ 1 = 1. (F=1) - Совпадает.

Строка 3: X=1, Y=1, Z=1. 1 ∧ (-1) = 1 ∧ 0 = 0. (F=0) - Совпадает.

Строка 4: X=1, Y=0, Z=0. 0 ∧ (-0) = 0 ∧ 1 = 0. (F=1) - Не совпадает.

Похоже, что в варианте 3, последняя строка должна давать 0, чтобы выражение X ∧ Y ∧ -Z было правильным.

Если предположить, что в таблице истинности последняя строка (X=1, Y=0, Z=0) должна давать F=0, тогда вариант 3 подходит.

С учетом предоставленных вариантов, и того, что вариант 3 подходит для первых трех строк, наиболее вероятным ответом является №3. Предполагаем, что в последней строке таблицы истинности есть ошибка.

Ответ: 3) X ∧ Y ∧ -Z