5. Сравните числа: а) $\log_7 5$ и $\log_7 6$; б) $\log_{0,4} 9$ и $\log_{0,4} 8$; в) $\log_5 7$ и $\log_4 7$; г) $\log_2 3$ и $\log_3 4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Сравните числа: а) $\log_7 5$ и $\log_7 6$; б) $\log_{0,4} 9$ и $\log_{0,4} 8$; в) $\log_5 7$ и $\log_4 7$; г)…$ Фото задания

5. Сравните числа: а) $\log_7 5$ и $\log_7 6$; б) $\log_{0,4} 9$ и $\log_{0,4} 8$; в) $\log_5 7$ и $\log_4 7$; г) $\log_2 3$ и $\log_3 4$.

Accepted Answer

а) Основание $7>1$, поэтому логарифмическая функция возрастает: из $5<6$ следует $\log_7 5<\log_7 6$.

б) Основание $0,4$ лежит между 0 и 1, поэтому функция убывает: из $9>8$ следует $\log_{0,4}9<\log_{0,4}8$.

в) При фиксированном аргументе $7>1$ значение $\log_a 7=\frac{\ln 7}{\ln a}$ убывает с ростом основания $a>1$. Так как $5>4$, то $\log_5 7<\log_4 7$.

г) $\log_2 3>1$, поскольку $3>2$. Также $\log_3 4<2$, поскольку $4<3^2$, но для прямого сравнения заметим: $\log_2 3>\log_3 4$ равносильно $\frac{\ln 3}{\ln 2}>\frac{\ln 4}{\ln 3}$, то есть $(\ln 3)^2>2\ln 2\ln 3$, что равносильно $3>4\frac{}{}$ после возведения в соответствующие степени? Надёжнее сравнить: $\log_3 4=\frac{\ln 4}{\ln 3}\approx1{,}262$, тогда как $\log_2 3\approx1{,}585$. Следовательно, $\log_2 3>\log_3 4$.

Ответ: а) $<$; б) $<$; в) $<$; г) $>$.

5. Сравните числа: а) \(\log_7 5\) и \(\log_7 6\); б) \(\log_{0,4} 9\) и \(\log_{0,4} 8\); в) \(\log_5 7\) и \(\log_4 7\); г) \(\log_2 3\) и \(\log_3 4\).

Ответ: