5. Среднее арифметическое набора чисел равно 8, а дисперсия равна 5. Каждое число набора умножили на 3 и после этого увеличили на 2. Найди-те а) среднее значение и б) дисперсию полученного набора.

Задание 5

Привет! Давай разберемся, как изменяются среднее значение и дисперсия при преобразовании чисел.

Пусть у нас есть исходный набор чисел \( x_1, x_2, ..., x_n \).

Мы знаем:

• Среднее арифметическое исходного набора: \( \bar{x} = 8 \)
• Дисперсия исходного набора: \( D(x) = 5 \)

Каждое число умножили на 3 и увеличили на 2. Это значит, что новый набор чисел \( y_i \) можно описать формулой: \( y_i = 3x_i + 2 \).

а) Среднее значение полученного набора

Есть такое свойство: если каждое число в наборе умножить на константу \( a \) и прибавить константу \( b \), то новое среднее арифметическое будет равно \( a\bar{x} + b \).

В нашем случае \( a = 3 \) и \( b = 2 \).

Новое среднее значение \( \bar{y} \) = \( 3 \cdot \bar{x} + 2 \) = \( 3 \cdot 8 + 2 \) = \( 24 + 2 \) = \( 26 \).

Ответ: Среднее значение полученного набора равно 26.

б) Дисперсия полученного набора

Другое свойство: если каждое число в наборе умножить на константу \( a \) и прибавить константу \( b \), то дисперсия нового набора будет равна \( a^2 D(x) \). Константа \( b \) на дисперсию не влияет.

В нашем случае \( a = 3 \) и \( b = 2 \).

Новая дисперсия \( D(y) \) = \( 3^2 \cdot D(x) \) = \( 9 \cdot 5 \) = \( 45 \).

Ответ: Дисперсия полученного набора равна 45.