5. Тело упало в высоты h=60м. Чему равна скорость тела в момент, когда кинетическая энергия будет в 2 раза меньше потенциальной?

Решение:

Согласно закону сохранения механической энергии, полная энергия тела (сумма кинетической и потенциальной энергий) остается постоянной. \( E = K + P = const \).

1. В начале падения (на высоте \( h=60 \text{ м} \)), тело покоилось, поэтому его кинетическая энергия \( K_{нач} = 0 \). Потенциальная энергия \( P_{нач} = mgh \). Полная энергия \( E = mgh \).
2. В момент, когда кинетическая энергия в 2 раза меньше потенциальной, имеем: \( K = \frac{P}{2} \).
3. Полная энергия в этот момент: \( E = K + P = \frac{P}{2} + P = \frac{3P}{2} \).
4. Приравниваем полную энергию в начале и в этот момент: \( mgh = \frac{3P}{2} \).
5. Потенциальную энергию можно выразить через массу и высоту: \( P = mgH \), где \( H \) — высота тела над землей в данный момент. \( mgh = \frac{3mgH}{2} \).
6. Сокращаем \( mg \): \( h = \frac{3H}{2} \). Отсюда находим высоту \( H \): \( H = \frac{2h}{3} = \frac{2 \times 60 \text{ м}}{3} = 40 \text{ м} \).
7. Теперь найдем кинетическую энергию в этот момент: \( K = E - P = mgh - mgH = mg(h-H) = mg(60-40) = 20mg \).
8. Также кинетическая энергия равна \( K = \frac{mv^2}{2} \). Приравниваем: \( \frac{mv^2}{2} = 20mg \).
9. Сокращаем \( m \): \( \frac{v^2}{2} = 20g \).
10. Находим скорость: \( v^2 = 40g \). Подставляем \( g \approx 10 \text{ м/с}² \): \( v^2 = 40 \times 10 = 400 \text{ (м/с)}² \).
11. \( v = \sqrt{400} = 20 \text{ м/с} \).

Ответ: 20 м/с.