5. Теорема о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника (формулировка и доказательство).

Теорема. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является медианой и высотой, проведёнными к основанию.

Доказательство. Пусть AB = AC, а AD — биссектриса угла A, пересекающая основание BC в точке D.

1. В треугольниках ABD и ACD: AB = AC по условию, AD — общая сторона, ∠BAD = ∠DAC, поскольку AD — биссектриса.
2. Значит, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Из равенства треугольников получаем BD = DC. Поэтому D — середина BC, а AD — медиана.
4. Также ∠ADB = ∠ADC. Эти углы смежные, поэтому их сумма равна 180°. Равные смежные углы равны по 90°, следовательно, AD ⟂ BC и AD — высота.

Теорема доказана.