5. Тип 8 № 2162 i На продолжении стороны АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что AD = АС и точка А находится между точками В и Д. Найдите величину угла ADC если угол АВС равен 32°.

Привет! Разберем эту задачку по геометрии.
У нас есть равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Это значит, что углы при основании равны: $$\angle BAC = \angle BCA$$. Также нам известно, что $$\angle ABC = 32°$$.

1. Найдем углы при основании треугольника ABC:
Сумма углов в треугольнике равна 180°.
$$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180°$$
Так как $$\angle BAC = \angle BCA$$, обозначим их за $$x$$. Тогда:
$$x + x + 32° = 180°$$
$$2x = 180° - 32°$$
$$2x = 148°$$
$$x = 148° / 2 = 74°$$
Значит, $$\angle BAC = 74°$$ и $$\angle BCA = 74°$$.

2. Найдем угол CAD:
Точка A лежит на отрезке BD. Угол BAC — это внутренний угол треугольника ABC, а нам нужно найти угол ADC. Точка A находится между B и D, значит, угол BAC и угол CAD — смежные углы, если бы B, A, D лежали на одной прямой, но нам сказано, что D на продолжении стороны AB. Это значит, что точки B, A, D лежат на одной прямой в таком порядке. То есть, угол BAC является частью угла BAD.

3. Рассмотрим треугольник ADC:
Мы знаем, что AD = AC. Это значит, что треугольник ADC — равнобедренный. Углы при основании AD и AC равны: $$\angle ADC = \angle ACD$$.

4. Найдем угол ADC:
Угол BAC — это внешний угол для треугольника ADC. Но нам дан угол ABC. По условию, на продолжении стороны AB отметили точку D. Это значит, что точки B, A, D лежат на одной прямой в таком порядке: B-A-D. Тогда угол CAD является внешним углом для треугольника ABC, если рассмотреть точку A как вершину. Однако, D находится на продолжении стороны AB. Значит, угол BAC и угол CAD — смежные, если бы C была на прямой BD. Нам нужно найти угол ADC.

Перечитаем условие: "На продолжении стороны АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что AD = АС и точка А находится между точками В и Д." Это означает, что порядок точек на прямой AB — B, A, D. Таким образом, угол BAC = 74° — это один из углов треугольника ABC.

У нас AD = AC, значит, треугольник ADC — равнобедренный.
Угол BAC = 74°. Угол CAD — это угол, смежный с углом BAC. Если рассматривать прямую BD, то угол BAC и угол CAD образуют развернутый угол.
Однако, D находится на продолжении стороны AB. Значит, угол CAD является смежным углом к углу BAC, если рассматривать прямую BD. Таким образом, $$\angle CAD = 180° - \angle BAC = 180° - 74° = 106°$$.

В равнобедренном треугольнике ADC (AD = AC), углы при основании равны: $$\angle ADC = \angle ACD$$.
Сумма углов в треугольнике ADC равна 180°:
$$\angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180°$$
$$2 \times \angle ADC + 106° = 180°$$
$$2 \times \angle ADC = 180° - 106°$$
$$2 \times \angle ADC = 74°$$
$$\angle ADC = 74° / 2 = 37°$$

Ответ: 37