5. Точка Д симметрична вершине С треугольника АВС относительно прямой АВ. Найдите ∠ADC, если ∠BAC=65°.

Пошаговое решение:

1. По условию, точка D симметрична точке C относительно прямой AB. Это означает, что AB является осью симметрии для точек C и D.
2. Свойства симметрии относительно прямой:
• Прямая AB перпендикулярна отрезку CD.
• Точка пересечения AB и CD является серединой отрезка CD.
3. Из этого следует, что треугольник ACD является равнобедренным относительно основания CD, и AB является биссектрисой угла ∠CAD.
4. То есть, ∠CAB = ∠DAB.
5. По условию, ∠BAC = 65°.
6. Следовательно, ∠DAB = 65°.
7. Угол ∠CAD = ∠CAB + ∠DAB = 65° + 65° = 130°.
8. В треугольнике ACD, AC = AD (из симметрии).
9. Сумма углов в треугольнике ACD равна 180°.
10. ∠ACD + ∠ADC + ∠CAD = 180°.
11. Так как AC = AD, то треугольник ACD равнобедренный, и углы при основании равны: ∠ACD = ∠ADC.
12. Пусть ∠ADC = y. Тогда ∠ACD = y.
13. y + y + 130° = 180°.
14. 2y = 180° - 130°.
15. 2y = 50°.
16. y = 25°.
17. Следовательно, ∠ADC = 25°.

Ответ: ∠ADC = 25°