5. Точка K делит отрезок MN в отношении \(MK:KN=3:4\). Выразите вектор \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AK}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AN}\), где A — произвольная точка, не лежащая на прямой MN.

Так как \(MK:KN=3:4\), весь отрезок MN состоит из 7 равных долей, а отрезок KN — из 4 долей.

Следовательно,

\[\overrightarrow{KN}=\frac{4}{7}\overrightarrow{MN},\qquad \overrightarrow{MN}=\frac{7}{4}\overrightarrow{KN}.\]

По правилу вычитания векторов:

\[\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AK}=\vec b-\vec a.\]

Поэтому:

\[\overrightarrow{MN}=\frac{7}{4}(\vec b-\vec a).\]

Ответ: \(\overrightarrow{MN}=\frac{7}{4}(\vec b-\vec a)\).