5. Точка К — середина стороны АВ параллелограмма ABCD, точка М — середина стороны CD. Докажите, что четырехугольник АКСМ — параллелограмм.

Решение:

Дано: ABCD — параллелограмм, \( K \) — середина \( AB \), \( M \) — середина \( CD \).

Доказать: АКСМ — параллелограмм.

Доказательство:

1. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны: \( AB ∥ CD \) и \( AB = CD \).
2. Так как \( K \) — середина \( AB \), то \( AK = KB = \frac{1}{2} AB \).
3. Так как \( M \) — середина \( CD \), то \( CM = MD = \frac{1}{2} CD \).
4. Поскольку \( AB = CD \), то \( \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD \). Следовательно, \( AK = CM \).
5. Так как \( AB ∥ CD \), то и отрезки \( AK \) и \( CM \), лежащие на этих сторонах, параллельны: \( AK ∥ CM \).
6. У нас есть четырехугольник АКСМ, в котором одна пара противоположных сторон \( AK \) и \( CM \) равны ( \( AK = CM \)) и параллельны ( \( AK ∥ CM \)).
7. По признаку параллелограмма, если одна пара противоположных сторон четырехугольника равна и параллельна, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник АКСМ — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.