5. Точка K — середина стороны BC параллелограмма ABCD, точка M — середина стороны AD. Докажите, что диагонали четырёхугольника BKDM точкой их пересечения делятся пополам.

Обозначим через \(O\) точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(O\) — середина диагонали \(BD\).

Рассмотрим отрезок \(KM\). Так как \(K\) и \(M\) — середины противоположных сторон \(BC\) и \(AD\), координатно можно записать:

\[K=\frac{B+C}{2},\qquad M=\frac{A+D}{2}.\]

В параллелограмме \(A+C=B+D\). Поэтому середина отрезка \(KM\) имеет вид

\[\frac{K+M}{2}=\frac{A+B+C+D}{4}=\frac{A+C}{2}=O.\]

Следовательно, точка \(O\) является серединой и диагонали \(BD\), и диагонали \(KM\). Значит, диагонали четырёхугольника \(BKDM\) точкой пересечения делятся пополам.

Что и требовалось доказать.