5. Точка M, лежащая вне плоскости ΔABK, соединена с его вершинами. D и E — точки пересечения медиан треугольников MAB и MBK соответственно. а) Докажите, что ADEK — трапеция. б) Найдите DE, если AK = 14 см.

а) Обозначим радиус-векторы точек буквами с теми же обозначениями. Точка пересечения медиан треугольника является его центроидом, поэтому

\(D=\frac{M+A+B}{3},\qquad E=\frac{M+B+K}{3}.\)

Вычтем первое равенство из второго:

\(\overrightarrow{DE}=E-D=\frac{K-A}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AK}.\)

Значит, \(DE\parallel AK\). У четырёхугольника ADEK одна пара противоположных сторон параллельна, следовательно, ADEK — трапеция.

б) Из полученного соотношения следует, что \(DE=\frac{AK}{3}=\frac{14}{3}\) см.

Ответ: а) ADEK — трапеция; б) \(DE=\frac{14}{3}\) см.