6. Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке O, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что прямая AB параллельна плоскости A₁CB₁.

Поскольку O — середина AA₁ и BB₁, центральная симметрия с центром O переводит A в A₁, а B в B₁. Поэтому \(AB\parallel A₁B₁\). Прямая A₁B₁ лежит в плоскости A₁CB₁.

Остаётся исключить случай, когда AB лежит в этой плоскости. Если бы это было так, плоскость содержала бы A, B, A₁ и B₁. Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в O, поэтому их плоскость содержала бы O, A и B. Тогда плоскость A₁CB₁, содержащая также C, содержала бы O, A, B и C. Это противоречит условию, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ не лежат в одной плоскости.

Итак, AB параллельна прямой A₁B₁, лежащей в плоскости A₁CB₁, и сама в этой плоскости не лежит. Следовательно, \(AB\parallel\text{ плоскости }A₁CB₁\).