5. Точка O — центр правильного треугольника ABC (рис. 12.7), сторона которого равна 6 см. Прямая MA перпендикулярна плоскости ABC. Найдите угол между прямой MO и плоскостью ABC, если MA = 2 см.

Проекция прямой MO на плоскость ABC — отрезок AO, поскольку M проектируется в A, а O уже лежит в плоскости. Поэтому искомый угол равен ∠MOA.

1. В правильном треугольнике центр O делит медиану в отношении 2:1 от вершины. Высота треугольника равна \(3\sqrt{3}\) см, значит \(AO=\frac{2}{3}\cdot3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) см.
2. Так как \(MA\perp(ABC)\), то \(MA\perp AO\). Треугольник MAO прямоугольный при A.
3. \(\tan\angle MOA=\frac{MA}{AO}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), откуда \(\angle MOA=30^\circ\).

Ответ: 30°.