6. Из точки A к плоскости α провели перпендикуляр AH и наклонные AB и AC, образующие с плоскостью соответственно углы 45° и 60°. Найдите отрезок AB, если AC = 4√3 см.

Обозначим углы между наклонными и плоскостью через ∠ABH = 45° и ∠ACH = 60°, где H — основание перпендикуляра AH. Треугольники AHC и AHB прямоугольные при H.

1. В треугольнике AHC: \(AH=AC\sin60^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\) см.
2. В треугольнике AHB: \(\sin45^\circ=\frac{AH}{AB}\), поэтому \(AB=\frac{AH}{\sin45^\circ}=\frac{6}{\sqrt{2}/2}=6\sqrt{2}\) см.

Ответ: \(6\sqrt{2}\) см.