5. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 13. Найдите АС, если ВС = 24.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. В данном случае, сторона АВ является диаметром.

Следовательно, радиус окружности равен половине диаметра: $$R = \frac{AB}{2}$$.

По условию, радиус равен 13, значит, диаметр АВ = $$2 \times 13 = 26$$.

Так как АВ является диаметром окружности, описанной около треугольника АВС, то угол АСВ, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $$ \triangle ABC $$ — прямоугольный треугольник с прямым углом С.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Нам известны ВС = 24 и АВ = 26. Подставляем значения:

\[ AC^2 + 24^2 = 26^2 \]

\[ AC^2 + 576 = 676 \]

Вычисляем АС:

\[ AC^2 = 676 - 576 \]

\[ AC^2 = 100 \]

\[ AC = \sqrt{100} \]

\[ AC = 10 \]

Ответ: 10