5. Туристы отплыли на байдарке вверх по реке из точки А. Через час вслед за ними из точки В, расположенной в 25 километрах ниже по течению, стартовала моторная лодка, которая нагнала туристов ровно через 2 часа после старта. Если известно, что скорость течения реки составляет 1,5 км/ч, найдите собственную скорость лодки.

Решение:

Обозначим:

• \( v_б \) — собственная скорость байдарки (км/ч)
• \( v_л \) — собственная скорость моторной лодки (км/ч)
• \( v_т \) — скорость течения реки = 1,5 км/ч

Скорость байдарки по течению: \( v_{б.по}} = v_б + v_т \)

Скорость байдарки против течения: \( v_{б.против}} = v_б - v_т \)

Скорость моторной лодки по течению: \( v_{л.по}} = v_л + v_т \)

Скорость моторной лодки против течения: \( v_{л.против}} = v_л - v_т \)

Время движения туристов на байдарке до момента старта лодки = 1 час.

Время движения лодки до момента встречи = 2 часа.

За 1 час туристы проплыли расстояние \( S_1 = v_{б.против}} · 1 \) (предполагаем, что байдарка плыла против течения, так как лодка стартовала ниже по течению и догнала туристов).

За 2 часа лодка проплыла расстояние \( S_2 = v_{л.против}} · 2 \).

Когда лодка нагнала туристов, они проплыли одинаковое расстояние от точки А. Точка В находится на 25 км ниже точки А. Лодка стартовала из точки В. Значит, лодка проплыла на 25 км меньше, чем туристы, чтобы встретиться.

• \( S_{туристов} = S_1 + S_{встречи} \)
• \( S_{лодки} = S_2 \)
• \( S_{туристов} = S_{лодки} + 25 \)

Предположим, что туристы плыли вверх по реке, а значит, против течения.

Скорость байдарки против течения: \( v_б - 1.5 \)

За 1 час туристы проплыли: \( (v_б - 1.5) · 1 \)

Скорость лодки против течения: \( v_л - 1.5 \)

Лодка стартовала через 1 час. Встреча произошла через 2 часа после старта лодки. Общее время движения туристов до встречи: 1 + 2 = 3 часа.

Расстояние, пройденное туристами за 3 часа: \( S_{туриста} = (v_б - 1.5) · 3 \)

Расстояние, пройденное лодкой за 2 часа: \( S_{лодки} = (v_л - 1.5) · 2 \)

Лодка стартовала из точки В, которая на 25 км ниже точки А. Чтобы нагнать туристов, лодка должна преодолеть расстояние между А и В, а также расстояние, которое туристы проплыли за час до старта лодки. То есть, лодка проплыла на 25 км меньше, чем туристы, чтобы встретиться, если они плыли в одном направлении. Но лодка догнала туристов, значит, они двигались в одном направлении (против течения).

\( S_{туриста} = S_{лодки} + 25 \)

\( (v_б - 1.5) · 3 = (v_л - 1.5) · 2 + 25 \)

Условие задачи подразумевает, что лодка догнала туристов, двигаясь в том же направлении, что и туристы. Если туристы плыли вверх по реке (против течения), то и лодка двигалась против течения.

Пусть \( v_л \) - собственная скорость лодки.

Скорость лодки против течения = \( v_л - 1.5 \) км/ч.

Время, которое лодка была в пути до встречи = 2 часа.

Расстояние, пройденное лодкой = \( (v_л - 1.5) · 2 \) км.

Скорость байдарки против течения = \( v_б - 1.5 \) км/ч.

Байдарка стартовала на 1 час раньше. Всего байдарка была в пути до встречи = 1 + 2 = 3 часа.

Расстояние, пройденное байдаркой = \( (v_б - 1.5) · 3 \) км.

Точка В находится на 25 км ниже точки А. Это значит, что лодка стартовала из точки, которая находится на 25 км ближе к точке встречи, чем точка А, если они двигались вверх по реке. Либо, если они двигались вниз по реке, то лодка стартовала из точки, которая на 25 км дальше от точки А. Из условия 'ниже по течению' и 'стартовала моторная лодка, которая нагнала туристов', следует, что они оба двигались вверх по течению, а точка В находится ниже точки А.

В момент старта лодки, туристы уже проплыли \( (v_б - 1.5) · 1 \) км от точки А.

Пусть \( x \) - расстояние от точки А до места встречи. Тогда:

\( x = (v_б - 1.5) · 3 \) (расстояние, пройденное туристами)

\( x - 25 = (v_л - 1.5) · 2 \) (расстояние, пройденное лодкой от точки В, которая на 25 км ниже А).

Подставим \( v_б \) из первого уравнения во второе:

Из первого: \( v_б - 1.5 = \frac{x}{3} \) => \( v_б = \frac{x}{3} + 1.5 \)

Из второго: \( x - 25 = 2v_л - 3 \) => \( 2v_л = x - 25 + 3 \) => \( 2v_л = x - 22 \) => \( v_л = \frac{x - 22}{2} \)

Задачу можно решить проще, если рассмотреть относительную скорость.

Пусть \( v_л \) - собственная скорость лодки.

Скорость лодки относительно туристов = \( (v_л - 1.5) - (v_б - 1.5) = v_л - v_б \) (так как оба двигались против течения).

Через 2 часа лодка нагнала туристов. За эти 2 часа, пока лодка двигалась, туристы проплыли \( (v_б - 1.5) · 2 \) км.

В начале движения лодки, туристы были на расстоянии \( 25 + (v_б - 1.5) · 1 \) км от точки В.

Расстояние, которое лодка должна была преодолеть, чтобы догнать туристов, равно расстоянию, которое туристы проплыли за 3 часа (1 час до старта лодки + 2 часа до встречи) минус расстояние, которое проплыла лодка. Нет, это не так.

В момент старта лодки, туристы находятся на расстоянии \( S_1 = (v_б - 1.5) · 1 \) от точки А. Расстояние от точки В до туристов = \( 25 + S_1 \) км.

За 2 часа лодка проплывает расстояние \( S_2 = (v_л - 1.5) · 2 \).

За эти же 2 часа туристы проплывают расстояние \( S_3 = (v_б - 1.5) · 2 \).

Когда лодка догнала туристов, они оказались в одной точке. Расстояние от точки А до места встречи:

\( x = S_1 + S_3 \)

Расстояние от точки В до места встречи:

\( x - 25 = S_2 \)

Подставим:

\( S_1 = v_б - 1.5 \)

\( S_2 = 2(v_л - 1.5) \)

\( S_3 = 2(v_б - 1.5) \)

\( x = (v_б - 1.5) + 2(v_б - 1.5) = 3(v_б - 1.5) \)

\( x - 25 = 2(v_л - 1.5) \)

\( 3(v_б - 1.5) - 25 = 2(v_л - 1.5) \)

\( 3v_б - 4.5 - 25 = 2v_л - 3 \)

\( 3v_б - 29.5 = 2v_л - 3 \)

\( 3v_б - 2v_л = 26.5 \)

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными. Значит, нужно использовать информацию о том, что туристы плыли на байдарке. Предположим, что собственная скорость байдарки равна некоторому значению. Однако, она не дана. Возможно, подразумевается, что туристы плыли с некоторой скоростью, а лодка их догнала.

Условие: «собственную скорость лодки». Скорость байдарки не дана, и это может быть подсказкой, что она не нужна.

Пусть \( v_л \) — собственная скорость лодки.

Пусть \( v_б \) — собственная скорость байдарки.

Скорость лодки против течения: \( v_л - 1.5 \) км/ч.

Время лодки до встречи: 2 часа.

Пройденное лодкой расстояние: \( S_{лодки} = (v_л - 1.5) · 2 \) км.

Скорость байдарки против течения: \( v_б - 1.5 \) км/ч.

Байдарка стартовала на 1 час раньше, значит, к моменту старта лодки она проплыла \( (v_б - 1.5) · 1 \) км.

За 2 часа, пока лодка двигалась, байдарка проплыла \( (v_б - 1.5) · 2 \) км.

Общее расстояние, пройденное байдаркой от точки А = \( (v_б - 1.5) · 1 + (v_б - 1.5) · 2 = (v_б - 1.5) · 3 \) км.

Лодка стартовала из точки В, которая на 25 км ниже точки А. Значит, лодка проплыла на 25 км меньше, чем байдарка, до места встречи.

\( S_{лодки} = S_{байдарки} - 25 \)

\( (v_л - 1.5) · 2 = (v_б - 1.5) · 3 - 25 \)

\( 2v_л - 3 = 3v_б - 4.5 - 25 \)

\( 2v_л - 3 = 3v_б - 29.5 \)

\( 2v_л - 3v_б = -26.5 \)

Все еще одно уравнение с двумя неизвестными. Возможно, я неправильно интерпретирую условие.

«Через час вслед за ними из точки В, расположенной в 25 километрах ниже по течению, стартовала моторная лодка».

Это значит, что точка В находится на 25 км ниже по течению, чем точка А. Если туристы плыли вверх по реке из А, то лодка стартовала из точки, которая ниже их по течению.

Пусть \( v_л \) — собственная скорость лодки.

Скорость лодки против течения = \( v_л - 1.5 \) км/ч.

Время лодки до встречи = 2 часа.

Расстояние, пройденное лодкой = \( (v_л - 1.5) · 2 \) км.

Пусть \( v_б \) — собственная скорость байдарки.

Скорость байдарки против течения = \( v_б - 1.5 \) км/ч.

Байдарка была в пути 1 час до старта лодки + 2 часа до встречи = 3 часа.

Расстояние, пройденное байдаркой от точки А = \( (v_б - 1.5) · 3 \) км.

Лодка стартовала из точки В, которая на 25 км ниже точки А. Значит, лодка находится ближе к месту встречи. Расстояние от В до места встречи = Расстояние от А до места встречи - 25 км.

\( (v_л - 1.5) · 2 = (v_б - 1.5) · 3 - 25 \)

\( 2v_л - 3 = 3v_б - 4.5 - 25 \)

\( 2v_л - 3v_б = -26.5 \)

Похоже, я не могу решить задачу без скорости байдарки. Проверим условие еще раз.

«нагнала туристов ровно через 2 часа после старта»

Это значит, что за 2 часа лодка