5. Туристы, отправляясь в поход, планировали пройти весь маршрут за 12 дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Однако им удалось пройти весь маршрут за 9 дней, преодолевая ежеднвно одно и то же целое число километров. Какова длина всего маршрута, если известно, что она больше 100 км, но меньше 120 км?

Пусть длина маршрута равна S километрам. Она делится на 12, поскольку при первом плане за день проходили целое число километров, и делится на 9 по тому же условию для второго плана.

Наименьшее общее кратное чисел 12 и 9: 12 = 2² · 3, 9 = 3², поэтому НОК(12, 9) = 2² · 3² = 36. Значит, длина маршрута — кратное 36.

Кратные 36 рядом с указанным промежутком: 72, 108, 144. Только 108 больше 100 и меньше 120.

Ответ: 108 км.