5. У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера: 1. возведи в квадрат 2. прибавь в (в — неизвестное натуральное число). Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая прибавляет к числу в. Программа для исполнителя — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12212 переводит число 2 в число 37. Определите значение в.

Решение:

Дано: Исполнитель «Квадратор» имеет две команды: 1 — возвести в квадрат, 2 — прибавить b. Начальное число: 2. Конечный результат: 37. Программа: 12212.

Разберем выполнение программы шаг за шагом:

1. Начальное число: 2
2. Команда 1 (возвести в квадрат): \( 2^2 = 4 \)
3. Команда 2 (прибавить b): \( 4 + b \)
4. Команда 2 (прибавить b): \( (4 + b) + b = 4 + 2b \)
5. Команда 1 (возвести в квадрат): \( (4 + 2b)^2 \)
6. Команда 2 (прибавить b): \( (4 + 2b)^2 + b \)
7. Итоговый результат: \( (4 + 2b)^2 + b = 37 \)

Теперь решим полученное уравнение относительно b:

\[ (4 + 2b)^2 + b = 37 \]

Раскроем скобки:

\[ 16 + 16b + 4b^2 + b = 37 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ 4b^2 + 17b + 16 - 37 = 0 \]

\[ 4b^2 + 17b - 21 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 289 + 336 = 625 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{625} = 25 \)

Найдем корни b:

\[ b_1 = \frac{-17 + 25}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \]

\[ b_2 = \frac{-17 - 25}{2 \cdot 4} = \frac{-42}{8} = -5.25 \]

По условию, b — неизвестное натуральное число. Следовательно, b = 1.

Проверим:

1. Начальное число: 2
2. Команда 1: \( 2^2 = 4 \)
3. Команда 2: \( 4 + 1 = 5 \)
4. Команда 2: \( 5 + 1 = 6 \)
5. Команда 1: \( 6^2 = 36 \)
6. Команда 2: \( 36 + 1 = 37 \)

Результат совпал.

Ответ: 1