5. У трохвугольніку дзве стараны роўныя 6 см і 10 см, а сума вуглоў, процілеглых гэтым старанам, роўная 120°. Знайдзіце трэцюю старану трохвугольніка.

Рашэнне:

Няхай стараны трохвугольніка роўныя \( a = 6 \) см, \( b = 10 \) см, а трэцяя старана — \( c \). Няхай вуглы, процілеглыя старанам \( a \) і \( b \) роўныя \( \alpha \) і \( \beta \) адпаведна.

Па ўмове \( \alpha + \beta = 120^{\circ} \).

Па тэарэме косінусаў для стараны \( c \):

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \), дзе \( \gamma \) — вугал паміж старанамі \( a \) і \( b \).

Мы ведаем, што сума вуглоў трохвугольніка роўная \( 180^{\circ} \), значыць \( \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \).

Паколькі \( \alpha + \beta = 120^{\circ} \), то \( \gamma = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Цяпер падставім значэнні ў формулу тэарэмы косінусаў:

\( c^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cos(60^{\circ}) \)

\( c^2 = 36 + 100 - 120 \cdot \frac{1}{2} \)

\( c^2 = 136 - 60 \)

\( c^2 = 76 \)

\( c = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19} \) см.

Адказ: \( 2\sqrt{19} \) см.