5. Укажите множество решений неравенства: х² < 9?

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x^2 < 9 \), перенесём всё в одну часть:

\[ x^2 - 9 < 0 \]

Разложим левую часть как разность квадратов:

\[ (x - 3)(x + 3) < 0 \]

Найдём корни уравнения \( (x - 3)(x + 3) = 0 \): \( x = 3 \) и \( x = -3 \).

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \), \( (3, \infty) \).

Проверим знак выражения \( (x - 3)(x + 3) \) в каждом интервале:

• При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0 \)
• При \( -3 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0 \)
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0 \)

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому решением является интервал \( (-3, 3) \).

Ответ: 1) (-3;3)