Ответ:

1) Верно: в производном предлоге в течение на конце пишется е.

2) Верно: в сочетании не смотря под ноги это деепричастие с частицей не, поэтому написание раздельное.

3) Верно: в продолжении романа — существительное с непроизводным предлогом, пишется раздельно.

4) Неверно: вследствие — производный предлог, а не наречие.

5) Неверно: впоследствии — наречие, а не производный предлог.

6) Верно: производный предлог за счёт пишется раздельно.

Ответ: 1, 2, 3, 6.