5. Упростить выражение

Решение:

Упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю.

\( \frac{2}{2-\sqrt{7}} + \frac{3}{2+\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{7}}{3} \)

Сначала приведём первые две дроби к общему знаменателю \( (2-\sqrt{7})(2+\sqrt{7}) \).

\( \frac{2(2+\sqrt{7})}{(2-\sqrt{7})(2+\sqrt{7})} + \frac{3(2-\sqrt{7})}{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})} + \frac{\sqrt{7}}{3} \)

Знаменатель первой части — это разность квадратов: \( (2-\sqrt{7})(2+\sqrt{7}) = 2^2 - (\sqrt{7})^2 = 4 - 7 = -3 \).

\( \frac{4+2\sqrt{7}}{-3} + \frac{6-3\sqrt{7}}{-3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \)

Сложим первые две дроби:

\( \frac{4+2\sqrt{7} + 6-3\sqrt{7}}{-3} = \frac{10 - \sqrt{7}}{-3} \)

Теперь добавим третью дробь:

\( \frac{10 - \sqrt{7}}{-3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \)

Приведём к общему знаменателю 3:

\( \frac{-(10 - \sqrt{7})}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{-10 + \sqrt{7} + \sqrt{7}}{3} = \frac{-10 + 2\sqrt{7}}{3} \)

Ответ: \( \frac{-10 + 2\sqrt{7}}{3} \).