5. Упростить выражение: \(\frac{c^{\frac12}\left(c^{-\frac12}+c^{\frac32}\right)}{c^{\frac13}\left(c^{\frac23}-c^{-\frac13}\right)}\).

Упростим числитель, распределив множитель:

\[c^{\frac12}\left(c^{-\frac12}+c^{\frac32}\right)=c^0+c^2=1+c^2.\]

Упростим знаменатель:

\[c^{\frac13}\left(c^{\frac23}-c^{-\frac13}\right)=c^1-c^0=c-1.\]

Исходное выражение определено при \(c>0\) и \(c\ne1\).

Ответ: \(\frac{1+c^2}{c-1}\), где \(c>0\), \(c\ne1\).