5. Упростите: \(\left(\dfrac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}-\dfrac{1}{a^{1/2}-b^{1/2}}\right)\cdot\dfrac{a+2a^{1/2}b^{1/2}+b}{4b^{1/2}}\).

Question

Вопрос:

5. Упростите: \(\left(\dfrac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}-\dfrac{1}{a^{1/2}-b^{1/2}}\right)\cdot\dfrac{a+2a^{1/2}b^{1/2}+b}{4b^{1/2}}\).

Accepted Answer

Положим \(u=a^{1/2}\), \(v=b^{1/2}\). Тогда \(a-b=(u-v)(u+v)\), поэтому \(\dfrac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}=\dfrac{1}{u+v}\).

В скобках получаем \(\dfrac{1}{u+v}-\dfrac{1}{u-v}=\dfrac{u-v-(u+v)}{(u+v)(u-v)}=-\dfrac{2v}{a-b}\).

Числитель второй дроби является квадратом суммы: \(a+2a^{1/2}b^{1/2}+b=(u+v)^2\). Следовательно, всё выражение равно \(-\dfrac{2v}{(u-v)(u+v)}\cdot\dfrac{(u+v)^2}{4v}=-\dfrac{u+v}{2(u-v)}\).

Ответ: \(-\dfrac{a^{1/2}+b^{1/2}}{2(a^{1/2}-b^{1/2})}\).