5. Упростите: $\left(\frac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}-\frac{1}{a^{1/2}-b^{1/2}}\right)\cdot\frac{a+2a^{1/2}b^{1/2}+b}{4b^{1/2}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Упростите: $\left(\frac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}-\frac{1}{a^{1/2}-b^{1/2}}\right)\cdot\frac{a+2a^{1/2}b^{1/2}+b}{4b^{1/2}}$.$ Фото задания

5. Упростите: $\left(\frac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}-\frac{1}{a^{1/2}-b^{1/2}}\right)\cdot\frac{a+2a^{1/2}b^{1/2}+b}{4b^{1/2}}$.

Accepted Answer

Обозначим $\sqrt a$ и $\sqrt b$ явно и разложим $a-b$ на множители:

$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}=\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}$.

Тогда выражение в скобках равно

$\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}-\frac{1}{\sqrt a-\sqrt b}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)-(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)}=\frac{-2\sqrt b}{a-b}$.

Числитель второй дроби — полный квадрат: $a+2\sqrt a\sqrt b+b=(\sqrt a+\sqrt b)^2$. Поэтому

$\frac{-2\sqrt b}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}\cdot\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{4\sqrt b}=-\frac{\sqrt a+\sqrt b}{2(\sqrt a-\sqrt b)}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt a+\sqrt b}{2(\sqrt a-\sqrt b)}$.

5. Упростите: \(\left(\frac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}-\frac{1}{a^{1/2}-b^{1/2}}\right)\cdot\frac{a+2a^{1/2}b^{1/2}+b}{4b^{1/2}}\).

Ответ: