5. Упростите выражение: 1) $\frac{y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{3}{y^2-1}$; 2) $\frac{2b^2-b}{b^3+1}-\frac{b-1}{b^2-b+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Упростите выражение: 1) $\frac{y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{3}{y^2-1}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $2y+2=2(y+1)$, $2y-2=2(y-1)$, $y^2-1=(y-1)(y+1)$. Тогда общий знаменатель равен $2(y^2-1)$:
\[\frac{(y+3)(y-1)-(y+1)^2+6}{2(y^2-1)}=\frac{2}{2(y^2-1)}=\frac{1}{y^2-1}.\]
Ограничения исходного выражения: $y\ne-1$, $y\ne1$.
Используем разложение $b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)$ и равенство $2b^2-b=b(2b-1)$:
\[\frac{b(2b-1)-(b-1)(b+1)}{(b+1)(b^2-b+1)}=\frac{b^2-b+1}{(b+1)(b^2-b+1)}=\frac{1}{b+1}.\]
Для действительных $b$ знаменатель $b^2-b+1$ не обращается в ноль; из исходного выражения следует ограничение $b\ne-1$.

5. Упростите выражение: 1) \(\frac{y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{3}{y^2-1}\); 2) \(\frac{2b^2-b}{b^3+1}-\frac{b-1}{b^2-b+1}\).