5. Упростите выражение: (1+tg2α)·cos2α − 1

Решение:

Упростим данное выражение, используя тригонометрические тождества:

1. Раскроем скобки:
   \[ (1+\text{tg}2\alpha) \cdot \cos2\alpha - 1 = \cos2\alpha + \text{tg}2\alpha \cdot \cos2\alpha - 1 \]
2. Вспомним, что \( \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Подставим это в выражение:
   \[ \cos2\alpha + \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \cos2\alpha - 1 \]
3. Сократим \( \cos 2\alpha \):
   \[ \cos2\alpha + \sin 2\alpha - 1 \]
4. Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \) и формулу синуса двойного угла \( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \).
   Подставим в выражение:
   \[ (1 - 2\sin^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 \]
5. Упростим:
   \[ 1 - 2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 2\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin^2\alpha \]
6. Вынесем общий множитель \( 2\sin\alpha \):
   \[ 2\sin\alpha(\cos\alpha - \sin\alpha) \]

Ответ: \( 2\sin\alpha(\cos\alpha - \sin\alpha) \)